Понедельник, 20.11.2017, 16:36
Вы вошли как Гость | Группа "Гости"Приветствую Вас, Гость
Главная » Файлы » Предметы точных дисциплин » Математика

Мультимедийный обучающий проект по построению графиков
[ Скачать с сервера (457.6Kb) ] 07.02.2013, 13:58
Бурганиева Альфия Рафисовна, учитель математики высшей квалификационной категории Кучуковской средней общеобразовательной щколы Агрызского муниципального района РТ и Исенбаевской средней общеобразовательной школы Агрызского муниципального района РТ
Бурганиев Ринат Габдрахманович, учитель математики и физики высшей квалификационной категории Исенбаевской средней общеобразовательной школы Агрызского муниципального района РТ

При использовании компьютера в учебном процессе учащийся становится полноправным его участником. Мы не даем готовых знаний, но побуждает учеников к самостоятельному поиску. Функция учителя при деятельностном подходе проявляется в деятельности по управлению процессом обучения. Как образно замечал Л.С. Выготский «учитель должен быть рельсами, по которым свободно и самостоятельно движутся вагоны, получая от них только направление собственного движения».

Компьютерные средства позволяют обеспечить наилучшую реализацию принципа наглядности, которому принадлежит ведущее место в образовательных технологиях.
Широкое использование графических возможностей компьютера имеют большую прикладную направленность.
Урок алгебры в 9 классе по теме «Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины» был построен на основе метода проектов, применяя исследовательскую деятельность обучения.
Цели урока: Обучающая: Обобщить практические умения и навыки строить и читать графики функций и использовать свойства функций при решении задач. Наглядно продемонстрировать учащимся возможности использования компьютера при построении графиков функции с модулями; для самоконтроля, экономии времени при построении графиков функций вида у=f |(х)| , у = | f (х)| , у=|f |(х)| |.
Развивающая: Рассмотреть алгоритмы построения графиков. Развитие алгоритмического, логического и системного мышления . Развивать навыки самостоятельной работы.
Формирование и дальнейшее развитие познавательных операций по планированию и прогнозированию учебной деятельности. Развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций — анализ и синтез сравнение, обобщение. Формирование ИКТ компетентности учащихся.
Воспитывающая: Воспитание познавательного интереса к предмету путем введения новейших технологий обучения. Воспитание самостоятельности при решении учебных задач.
Оборудование: Оборудование: компьютерный класс, мультимедиапроектор, интерактивная доска, презентация на тему «Построение графиков функции, аналитическое выражение которых содержит знак абсолютной величины», раздаточный материал: карточки для работы с графической моделью функций, листы для фиксирования результатов исследования функций, персональные компьютеры. Лист самоконтроля.

Установление объекта изучения.
График функции у=f |(х)| у=f |(х)| - четная функция, т.к. | х | = | -х |, то f |-х| = f | х |
График этой функции симметричен относительно оси координат.
Следовательно, достаточно построить график функции у=f(х) для х>0,а затем достроить его левую часть, симметрично правой относительно оси координат.

1. Исследование графика функции у= |х|
1) Если х≥0, то |х| =х и наша функция у=х, т.е. искомый график совпадает с биссектрисой первого координатного угла.
2) Если х<0, то |х|= -х и у= -х. При отрицательных значениях аргумента х график данной функции – прямая у= -х, т.е. биссектриса второго координатного угла.
Таким образом, искомый график есть ломанная, составленная из двух полупрямых. (Рис.3)

Из сопоставления двух графиков у = х и у = -х, ученики сделают вывод: функции у = f(|х|) получается из графика у = f (x) при х≥0 симметричным отображением относительно оси ОУ.

Постановка и формирование проблемы.
Можно ли применять этот метод построения графиков для любой функции, содержащей абсолютную величину?
1. Построите график функции у=0,5 х² - 2|х| - 2,5
1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² - 2х - 2,5 . Если х<0, то поскольку х² = |х| ², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,5 х² + 2х - 2,5.
2) Если рассмотрим график у=0,5 х² -2х - 2,5 при х≥0 и отобразить его относительно
оси ОУ мы получим тот же самый график.

Можно ли применять этот метод построения графиков дл квадратичной функции, для графиков обратной пропорциональности, содержащие абсолютную величину?
2. Например: у= х2 - |х| -3
1) Поскольку |х| = х при х≥0, требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² - х - 3. Если х<0, то поскольку х² = |х|², |х|=-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х² + х - 3.
2) Если рассмотрим график у=0,25 х² - х - 3 при х≥0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график.

Выдвижение гипотезы.
На тетрадях ученики доказывают, что график функции у = f |(х)| совпадает с графиком функции у = f (х) на множестве неотрицательных значений аргумента и симметричен ему относительно оси ОУ на множестве отрицательных значений аргумента.
Таким образом, график функции у = f |(х)| можно получить из графика функции
у = f (х) следующим образом:
1. построить график функции у = f(х) для х>0;
2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть относительно
оси ОУ.
Вывод: Для построения графика функции у = f |(х)|
1. построить график функции у = f(х) для х>0;
2. Для х<0, симметрично отразить построенную часть
относительно оси ОУ.
4. Исследовательская работа по построению графика функции у = | f (х)|
Построить график функции у = |х² - 2х|
Освободимся от знака модуля по определению
Если х² - 2х≥0, т.е. если х≤0 и х≥2, то |х² - 2х|= х² - 2х
Если х² - 2х<0, т.е. если 0<х< 2, то |х² - 2х|=- х² + 2х
Видим, что на множестве х≤0 и х≥2 графики функции
у = х² - 2х и у = |х² - 2х|совпадают, а на множестве (0;2)
графики функции у = -х² + 2х и у = |х² - 2х|совпадают. Построим их.
График функции у = | f (х)| состоит из части графика функции у = f(х) при у ≥0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.
1. Построить график функции у = |х² - х -6|

1) Если х² - х -6≥0, т.е. если х≤-2 и х≥3, то |х² - х -6|= х² - х -6.
Если х² - х -6<0, т.е. если -2<х< 3, то |х² - х -6|= -х² + х +6.
Построим их.
2) Построим у = х² - х -6 . Нижнюю часть графика
симметрично отбражаем относительно ОХ.
Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые.
Проверка гипотезы.
Докажем, что график функции у = | f (х)| совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 и симметрично отражённой частью у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ.
Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий:
у = f(х), если f(х) ≥0; у = - f(х), если f(х) <0
Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, то
| f (х)| = f(х), значит в этой части график функции
у = | f (х)| совпадает с графиком самой функции
у = f(х).
Если же f(х) <0, то | f (х)| = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ «отрицательную» часть графика у = f(х).
Вывод: действительно для построения графика функции у = |f(х) | достаточно:
1.Построить график функции у = f(х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где
f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5)

Вывод: Для построения графика функции у=|f(х) |
1.Построить график функции у=f(х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

5. Исследовательская работа по построению графиков функции у=|f |(х)| |
Применяя, определение абсолютной величины и ранее рассмотренные примеры построим графиков функции:
у = |2|х| - 3|
у = |х² – 5|х||
у = | |х³| - 2| и сделал выводы.
Для того чтобы построить график функции у = | f |(х)| надо:
1. Строить график функции у = f(х) для х>0.
2. Строить вторую часть графика, т. е. построенный график симметрично отражать относительно ОУ, т.к. данная функция четная.
3. Участки получившегося графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Проверка и уточнение выводов
Построить график функции у = | 2|х | - 3|
(1-й способ по определению модуля)
1. Строим у = 2|х | - 3 , для 2 |х| - 3 > 0 , |х |>1,5 т.е. х< -1,5 и х>1,5
а) у = 2х - 3 , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.
2. Строим у = -2 |х| + 3 , для 2|х | - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5
а)у = -2х + 3 , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

У = | 2|х | - 3|
1) Строим у = 2х-3, для х>0.
2) Строим прямую, симметричную построенной относительно оси ОУ.
3) Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, отображаю симметрично относительно оси ОХ.
Сравнивая оба графика, видим, что они одинаковые.
2.
у = | х² – 5|х| |
1. Строим у = х² – 5 |х|, для х² – 5 |х| > 0 т.е. х >5 и х<-5
а) у = х² – 5 х , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.

2. Строим у = - х² + 5 |х| , для х² – 5 |х| < 0. т.е. -5≤х≤5
а) у = - х² + 5 х , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ.
У = | х² – 5|х| |
а) Строим график функции у = х² – 5 х для х>0.
Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ
в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.
Сравнивая оба графика, видим что они одинаковые

3. у =| |х|³ - 2 |
1). Строим у = |х|³ - 2 , для |х|³ - 2 > 0, x> и x< -
а) у = х³ - 2 , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.
2). Строим у = - |х|³ + 2 , для |х|³ - 2 < 0. т.е. - < x<
а) у = -х³ + 2 , для х>0
б) для х<0, симметрично отражаю построенную часть относительно оси ОУ.

У = ||х|³ - 2 |
а) Строим у = х³ -2 для х > 0.
Б) Строим часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ
в) Часть графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовываю на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.
Алгоритм построения графика функции у=f |(х)|
1.Построить график функции у=f(х) для х>0;
2.Построить для х<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ.
Алгоритм построения графика функции у=|f(х) |
1.Построить график функции у=f(х) ;
2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, строить кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс.

Алгоритм построения графика функции у=|f |(х)| |
1. Построить график функции у=f(х) для х>0.
2. Построить кривую графика, симметричную построенной относительно оси ОУ, т.к. данная функция четная.
3. Участки графика, расположенные в нижней полуплоскости, преобразовывать на верхнюю полуплоскость симметрично оси ОХ.

Список литературы:

1.И. М.Гельфанд, Е.Г. Глаголева. Функции и графики. Издательство «Наука»
2.Р.А. Калнин. Алгебра и элементарные функции. Издательство «Наука»
3.М.К. Потапов, С.Н. Олехник. Конкурсные задачи по математики, Москва. «Наука»
4.Ю. Н.Макарычев, Н.Г. Миндюк. Дополнительные главы к школьному учебнику.
Москва, «Просвещение».
Оформление результатов исследования. Презентация. «Учебный проект»
Исследовательская работа по построению графиков функции»
Категория: Математика | Добавил: alfia
Просмотров: 781 | Загрузок: 218 | Комментарии: 1 | Рейтинг: 0.0/0
Всего комментариев: 0
Добавлять комментарии могут только зарегистрированные пользователи.
[ Регистрация | Вход ]